TANGRAM

O TANGRAM é um antigo quebra-cabeça ou puzzle originário da China, e seu autor é desconhecido. Sua origem se remonta a uma época desconhecida, o livro mais antigo com figuras de tangram data de 1813.

A referência mais antiga é de um painel em madeira, de 1780, de Utamaro com a imagem de duas senhoras chinesas a resolver um tangram. A mais antiga publicação com exercícios de tangram e do inicio do século XIX.

Esse jogo foi trazido da China para o Ocidente por volta da metade do século XIX e em 1818 já era conhecido na América, Alemanha, França, Itália e Áustria. Desde então, são criados tangrams em todos os tipos de materiais, desde cartão a pedra, plástico ou metal. Um dos exemplos interessantes é um conjunto de mesas descobertas na China, que datam do século XIX.

A Enciclopédia de Tangram foi escrita por uma mulher, na China, há 130 anos. É composta por seis volumes e contém mais de 1700 problemas para resolver. Ainda hoje o Tangram é muito utilizado por todo o mundo, especialmente por professores no ensino de geometria.

A sua simplicidade, e capacidade de representar uma tão grande variedade de objetos, mas ao mesmo tempo dificuldade em resolvê-los explica um pouco a mística deste jogo.

A origem da palavra Tangram possui vários significados, uma delas diz que a parte final da palavra – gram - significa algo desenhado ou escrito como um diagrama. Já a origem da primeira parte – tan – é muito duvidosa e especulativa, existindo várias tentativas de explicação. A mais aceita está relacionada à dinastia T’ang (618-906), que foi uma das mais poderosas e longas dinastias da história chinesa, a tal ponto que em certos dialetos do sul da China a palavra T’ang é sinônimo de Chinês. Assim, segundo essa versão, tangram significa literalmente quebra-cabeça chinês.

Os chineses o conhecem por "Tch'i Tch'iao Pan, pelo mundo pode ser conhecido como "sete tábuas da sabedoria", “tábua das sete sabedorias”, "quadrado mágico", "tabela da sabedoria" ou "tabela da sagacidade".

Enquanto a maioria dos quebra-cabeças são compostos por um grande número de peças, com formas complicadas e arrumadas em um único caminho, o Tangram, com apenas sete peças, permite uma extraordinária variedade de caminhos para compor as figuras. Essas sete peças, chamadas de tans, que podem ser posicionadas de maneira a formar um quadrado, é composto de:

• 1 quadrado

• 1 paralelogramo

• 2 triângulos grandes

• 2 triângulos pequenos

• 1 triângulo médio

Neste quebra-cabeça ou puzzle deve-se seguir duas regras: usar todas as peças e não soprepor elas. Além do quadrado, diversas outras formas podem ser obtidas.

Pode ser construído na sala de aula, juntamente com os alunos em diversos materiais: papel, cartolina, emborrachado, etc. Também é comercializado em madeira pintada.

É possível montar cerca de 1700 figuras, entre elas animais, plantas, letras, figuras geométricas, pessoas e números. Veja alguns exemplos:

• Curiosidades:

Como não se sabe a verdadeira origem do Tangram, varias pessoas tentam explicar essa origem através de lendas e histórias sobre esse quebra-cabeça.

Algumas das histórias:

1ª História:

Conta uma lenda que um imperador chinês chamou um de seus melhores artistas e ordenou que saísse pelos seus domínios e retratasse as coisas mais belas que pudesse encontrar, levando apenas uma prancha quadrada.

Apesar da dificuldade proposta, lá foi o artista, China afora, para tentar cumprir a ordem do imperador. No caminho, ao atravessar um riacho, caiu, e a prancha quebrou em sete pedaços. Precisava reuni-las, e após muitas tentativas percebeu que, a cada uma delas, ao arrumar as peças, conseguia formar uma figura diferente.

2ª História:

Um dia, na China à 4000 anos, o Imperador Tan partiu o seu espelho quadrado quando o deixou cair ao chão. O espelho partiu-se em sete bocados.

Tan, apesar de um pouco aborrecido com a perda do espelho, descobriu uma forma de se entreter, foi construindo figuras e mais figuras usando sempre as sete peças, sem as sobrepor

3ª História:

Um mensageiro deveria levar uma pedra de jade, de formato quadrado, ao imperador. Mas, no caminho a pedra partiu-se em sete pedaços. Preocupado, o mensageiro foi juntando as sete peças, a fim de remontar o quadrado. Enquanto tentava resolver o problema, o mensageiro criou centenas de formas de pessoas, animais, plantas, até conseguir refazer o quadrado

• O Tangram como jogo pedagógico:

É um passatempo para crianças e adultos e, além disso, o tangram possui notáveis possibilidades pedagógicas. Esse jogo é utilizado nas escolas para atrair o interesse das crianças pela Matemática, em especial pela geometria. Com as crianças pode ser utilizado para reconhecimentos da formas e dos significados e no ensino do aproveitamento dos espaços. O tangram estimula o desenvolvimento da imaginação e de habilidades matemáticas.

Num estágio mais avançado, o professor pode utilizar o Tangran em exercícios de cálculo da área de figuras; capacitar os alunos à definição de ângulos com o uso do transferidor, ou propor cálculo de perímetros e outros problemas matemáticos.

O Jogo:

Objetivos: Aprender as dificuldades da transmissão de informação, relacionando-a com o esquema de comunicação.

Noções: Parâmetros de uma situação de comunicação: mensagem, códigos, ruídos. Transmissão.

- Requisitos:

Destinatários: alunos do ensino fundamental, médio ou ensino superior.

Tempo: 1 h.

Material: um jogo de "Tangram" para duas pessoas (peças do jogo e um conjunto de exemplos de figuras a construir).

Organização: grupos de duas pessoas (em mesas com duas cadeiras frente a frente) e um animador.

Interesse da atividade: Muitos jogos podem reforçar uma situação de descoberta de informação. Este jogo, de grande riqueza, ele cinge-se à observação dos fenômenos de transmissão de informação. Poder-se-á, segundo o objetivo escolhido, insistir sobre um ou outro aspecto desta situação.

Numa segunda fase, pode se relacionar as observações com o esquema de comunicação, tal como é geralmente conhecido.

- Aprofundamentos:

Este exercício pode dar início a uma série de atividades sobre a informação.

As fontes, as transmissões, a "objetividade não existe".

- Seqüência:

1. Distribuição dos jogos e instruções.

2. Regras do jogo: Os dois jogadores estão sentados frente a frente; o primeiro escolhe uma figura simples. Dá-lhe ou não um nome. O segundo jogador não vê a figura e deve, com as peças do quadrado, construí-la segundo as indicações do primeiro jogador, que lhe descreve as peças e as respectivas posições. O segundo jogador só conseguirá reconstruir a figura se as informações do primeiro forem suficientemente claras. Pode-se continuar até que o segundo jogador consiga terminar o jogo, ou então, limitar-se o tempo.

3. Acabado o jogo, cada grupo escreve as suas observações, que serão apresentadas durante a discussão conjunta

4. Balanço do animador relativo à exatidão da informação, aos fenômenos da interpretação, à lei da proximidade, à deformação da mensagem devida à situação de transmissão.

Por: Luana Batista

A Proporção Áurea

Proporção áurea: a razão entre a+b e a coincide com a razão entre a e b.

·         O que é o número de Ouro?

O Número de Ouro é um número irracional misterioso e enigmático que nos surge numa infinidade de elementos da natureza na forma de uma razão, sendo considerada por muitos como uma oferta de Deus ao mundo. Ou seja, o número de ouro não é mais do que um valor numérico cujo valor aproximado é 1,618. Este número irracional é considerado por muitos o símbolo da harmonia. Muitos também denominam como sendo uma constante real algébrica irracional. 

            A designação adaptada para este número, Φ (Phi maiúsculo), é a inicial do nome de Fídias(Phideas) que foi escultor e arquiteto encarregado da construção do Pártenon, em Atenas.

A divisão de um segmento feita segundo essa proporção denomina-se proporção áurea, número de ouro, número áureo, proporção dourada, divisão áurea, a que Euclides chamou divisão em média e extrema razão, também conhecida por secção divina pelo matemático Luca Pacioli ou secção áurea segundo Leonardo da Vinci.

É um número que há muito tempo é empregado na arte. É freqüente a sua utilização em pinturas renascentistas, como as do mestre Giotto. Este número está envolvido com a natureza do crescimento. Phi, como é chamado o número de ouro, pode ser encontrado na proporção em conchas (o nautilus, por exemplo), seres humanos (o tamanho das falanges, ossos dos dedos, por exemplo), até na relação dos machos e fêmeas de qualquer colméia do mundo, e em inúmeros outros exemplos que envolvem a ordem do crescimento.

Justamente por estar envolvido de forma dinâmica na perpectitiva de coisas vivas que este número se torna tão solicitado. E justamente por haver essa freqüência, o número de ouro ganhou um status de "quase mágico", sendo alvo de pesquisadores, artistas e escritores. Apesar desse status, o número de ouro está apenas envolvido em rescimentos biológicos, que envolvem espirais, contudo, e embora não seja o único, o fato de ser encontrado através de desenvolvimento matemático integrado a natureza é que o torna fascinante.

Um exemplo desta maravilha é o fato de que se desenharmos um retângulo cujos lados tenham uma razão ente si igual ao número de Ouro, este pode ser dividido em um quadrado e em outro retângulo em que este tem, também, a razão entre os dois lados igual ao número de Ouro. Este processo pode ser repetido indefinidamente mantendo-se a razão constante.

  

·         A História do número de Ouro

A história deste enigmático número perde-se na antiguidade. No Egito as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea: A razão entre a altura de uma face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro. O Papiro de Rhind (Egípcio) refere-se a uma razão sagrada que se crê ser o número de ouro. Esta razão ou secção áurea surge em muitas estátuas da antiguidade.

Construído muitas centenas de anos depois (entre 447 e 433 a. C.), o Partenon Grego, templo representativo do século de Péricles contém a razão de Ouro no retângulo que contêm a fachada (Largura / Altura), o que revela a preocupação de realizar uma obra bela e harmoniosa. O escultor e arquiteto encarregado da construção deste templo foi Fídias. A designação adaptada para o número de ouro é a inicial do nome deste arquiteto - a letra grega Φ (Phi maiúsculo).

Os Pitagóricos usaram também a secção de ouro na construção da estrela pentagonal.

 

Não conseguiram exprimir como quociente entre dois números inteiros, a razão existente entre o lado do pentágono regular estrelado (pentáculo) e o lado do pentágono regular inscritos numa circunferência. Quando chegaram a esta conclusão ficaram muito espantados, pois tudo isto era muito contrário a toda a lógica que conheciam e defendiam que lhe chamaram irracional.

Foi o primeiro número irracional de que se teve consciência que o era. Este número era o número ou secção de ouro apesar deste nome só lhe ser atribuído uns dois mil anos depois.

Posteriormente, ainda os gregos consideraram que o retângulo cujos lados apresentavam esta relação apresentava uma especial harmonia estética que lhe chamaram retângulo áureo ou retângulo de ouro, considerando esta harmonia como uma virtude excepcional.

Endoxus foi um matemático grego que se tornou conhecido devido à sua teoria das proporções e ao método da exaustão, criou uma série de teoremas gerais de geometria e aplicou o método de análise para estudar a secção que se acredita ser a secção de ouro.

Uma contribuição preciosa foi dada por Fibonacci ou Leonardo de Pisa. No fim da Idade Média havia duas escolas matemáticas: uma,  a escola da igreja e universidade, voltada para um âmbito mais teórico e exaustivo e outra com uma finalidade mais prática e objetiva, a escola do comércio e dos mercadores à qual pertencia Fibonacci.

A contribuição de Fibonacci para o número de ouro está relacionada com a solução do seu problema dos coelhos publicado no seu livro Liber Abaci, a sequência de números de Fibonacci.

É que as sucessivas razões entre um número e o que o antecede vão se aproximando do número de ouro. Outro matemático que contribuiu para o estudo e divulgação do número de ouro foi Pacioli. Uma curiosidade deste matemático é que foi o primeiro a ter um retrato autêntico. Publicou em 1509 um trabalho com o título De Divina Proportione, este trabalho dizia respeito a polígonos regulares e sólidos e a razão de ouro.

·         Leonardo  Da Vinci e o número de ouro

     Uma contribuição que não pode ser deixada de referir foi à contribuição de Leonardo Da Vinci (1452-1519). A excelência dos seus desenhos revela os seus conhecimentos matemáticos bem como a utilização da razão áurea como garante de uma perfeição, beleza e harmonia únicas.

    É lembrado como matemático apesar da sua mente irrequieta não se concentrar na aritmética, álgebra ou geometria o tempo suficiente para fazer uma contribuição significativa. Representa bem o homem tipo da renascença que fazia de tudo um pouco sem se fixar em nada. Leonardo era um gênio de pensamento original que usou exaustivamente os seus conhecimentos de matemática, nomeadamente o número de ouro, nas suas obras de arte.

    Um exemplo é a tradicional representação do homem em forma de estrela de cinco pontas de Leonardo, que foi baseada nos pentágonos, estrelado e regular, inscritos na circunferência.

 

O homem vitruviano (ou homem de Vitrúvio) é um conceito apresentado na obra “Os dez livros da Arquitetura”, escrita pelo arquiteto romano Marco Vitruvio Polião, do qual o conceito herda no nome. Tal conceito é considerado um cânone das proporções do corpo humano, segundo um determinado raciocínio matemático e baseando-se, em parte, na divina proporção. Desta forma, o homem descrito por Vitrúvio apresenta-se como um modelo ideal para o ser humano, cujas proporções são perfeitas, segundo o ideal clássico de beleza.

Originalmente, Vitrúvio apresentou o cânone tanto de forma textual (descrevendo cada proporção e suas relações) quanto através de desenhos. Porém, à medida que os documentos originais perdiam-se e a obra passava a ser copiada durante a Idade Média, a descrição gráfica se perdeu. Desta forma, com a redescoberta dos textos clássicos durante o Renascimento, uma série de artistas, arquitetos e tratadistas dispuseram-se a interpretar os textos vitruvianos a fim de produzir novas representações gráficas. Dentre elas, a mais famosa e (hoje) difundida é a de Leonardo da Vinci.

·         A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão.

·         A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça.

·         A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax.

·         A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo.

·         O tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta.

·         A medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda dobra até a ponta.

·         A medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até ao chão.

Proporções áureas de uma mão:

 

·         Como surge o número de ouro

Como é um número extraído da seqüência de Fibonacci, o número áureo representa diretamente uma constante de crescimento. O número áureo é aproximado pela divisão do enésimo termo da Série de Fibonacci pelo termo anterior. Essa divisão converge para o número áureo conforme tomamos n cada vez maior. O número áureo também pode ser encontrado através de frações sucessivas. A aproximação do número áureo vem com a quantidade de números 1 em uma representação de Série de Frações. O valor varia em torno do número áureo, sendo maior ou menor alternadamente, mas sempre se aproximando deste. Ele também surge em Séries de determinadas raízes.

Se quiséssemos dividir um segmento AB em duas partes, teríamos uma infinidade de maneiras de fazê-lo. Existe uma, no entanto, que parece ser mais agradável à vista, como se traduzisse uma operação harmoniosa para os nossos sentidos. Relativamente a esta divisão, o matemático alemão Zeizing formulou, em 1855, o seguinte princípio:

"Para que um todo dividido em duas partes desiguais pareça belo do ponto de vista da forma, deve apresentar a parte menor e a maior a mesma relação que entre esta e o todo."

Ou seja, dado um segmento de reta AB, um ponto C divide este segmento de uma forma mais harmoniosa se existir a proporção de ouro  AB/CB = CB/AC (sendo CB o segmento maior). O número de ouro é exatamente o valor da razão AB/CB, a chamada razão de ouro.

·         Calculo do número Phi

A razão áurea é definida algebricamente como

A equação da direita mostra que , a = b Φ o que pode ser substituído na parte esquerda, resultando em:

Cancelando b em ambos os lados, temos:

Multiplicando ambos os lados por  Φ, resulta:

 

Finalmente, subtraindo Phi ao quadrado de ambos os membros da equação e multiplicando todas as parcelas por − 1, encontramos:

que é uma equação quadrática da forma:

em que a = 1, b = - 1 e c = - 1. Agora, basta resolver essa equação quadrática pela Fórmula de Bháskara:

 

 

 

 

          A única solução positiva dessa equação quadrática é a seguinte:

 

que é o número Φ.

 

·         Figuras geométricas e o número de ouro

Um decágono regular, inscrito numa circunferência, tem os lados em relação dourada com o raio da circunferência.

           O pentagrama é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas interseções das diagonais, está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea.

Um pentagrama regular é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas interseções das diagonais, também está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea. A razão entre as medidas das áreas dos dois pentágonos é igual a quarta potência da razão áurea.

Chamando os vértices de um pentagrama de A, B, C, D e E, o triângulo isóscele formado por A, C e D tem seus lados em relação dourada com a base, e o triângulo isósceles A, B e C tem sua base em relação dourada com os lados.

·         O Retângulo de ouro

Se desenharmos um retângulo cuja razão entre os comprimentos dos lados maior e menor é igual ao número de ouro, obtemos um retângulo de ouro.

O retângulo de ouro é um objeto matemático que marca forte presença no domínio das artes, nomeadamente na arquitetura, na pintura, e até na publicidade. Este fato não é uma simples coincidência já que muitos testes psicológicos demonstraram que o retângulo de ouro é de todos os retângulos o mais agradável à vista. 

Até hoje não se conseguiu descobrir a razão de ser dessa beleza, mas a verdade é que existem inúmeros exemplos onde o retângulo de ouro aparece. Até mesmo nas situações mais práticas do nosso cotidiano, encontramos aproximações do retângulo de ouro é, por exemplo, o caso dos cartões de crédito, bilhetes de identidade, o novo modelo da carta de condução, assim como a forma retangular da maior parte dos nossos livros.

O retângulo grande BA e um retângulo de ouro; ou seja, a proporção b:a é 1: Φ . Se retiramos o quadrado B, a parte restante, A, é outro retângulo de ouro.

            Se desenharmos um retângulo cuja razão entre os comprimentos dos lados maior e menor é igual ao número de ouro ( Φ =1,618...) obtemos um retângulo de ouro pois os lados verificam a proporção áurea.

·         Construção geométrica

Construção de um retângulo de ouro. As dimensões resultantes estão na proporção áurea. Um retângulo de ouro é facilmente obtido com compasso e régua por este método:

·         Construir um quadrado

·         Desenhar a linha do ponto central de um lado para um dos cantos no lado oposto

·         Usar essa linha como raio de uma circunferência para definir a altura do retângulo

·         Completar o retângulo

O nº de ouro e então o que permite a divisão perfeita de quadrados/retângulos

 

·         Espiral de ouro

Um retângulo de ouro tem a interessante propriedade de, se o dividirmos num quadrado e num retângulo, o novo retângulo é também de ouro. Repetido este processo infinitamente e unidos os cantos dos quadrados gerados, obtém-se uma espiral a que se dá o nome de espiral de ouro. 

  

Referencias Bibliográficas

 [1] http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/ouro.htm

[2] http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/num_ouro.htm

[3] http://pt.shvoong.com/exact-sciences/417753-n%C3%BAmero-ouro-rect%C3%A2ngulo-ouro/

[4] http://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3o_%C3%A1urea